Mocniny — Pravidlá a úprava výrazov

Definícia mocniny

Základná definícia

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\ \text{krát}},\quad a \in \mathbb{R},\; n \in \mathbb{N}$$

a — základ, n — exponent (mocniteľ)

Špeciálne prípady

$$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$$ $$a^1 = a$$ $$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)$$

Zlomkový exponent

$$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = \bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^m$$

platí pre $a > 0$, $n \in \mathbb{N}$, $n \geq 2$

Príklady na číslenej osi

$$2^4 = 16,\quad 2^0 = 1,\quad 2^{-2} = \tfrac{1}{4},\quad 2^{1/2} = \sqrt{2}$$

exponent môže byť ľubovoľné reálne číslo

⚡ Animácia opakovaného násobenia — zadaj základ a exponent

Základ: Exponent:

Zadaj hodnoty a klikni Animovať…

7 pravidiel mocnín

Klikni Zobraziť dôkaz pre algebrické odvodenie.

Pravidlo 1

Súčin mocnín rovnakého základu

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

Podľa definície rozvinieme oba súčinitele: $$a^m \cdot a^n = \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{m} \cdot \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n} = \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{m+n} = a^{m+n}$$ Celkový počet činiteľov je jednoducho $m + n$.

Pravidlo 2

Podiel mocnín rovnakého základu

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)$$

$\dfrac{3^7}{3^4} = 3^{7-4} = 3^3 = 27$

Z P1 vieme: $a^n \cdot a^{m-n} = a^m$. Vydelíme $a^n \neq 0$: $$a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$$ Pri $m > n$ sa $n$ spoločných činiteľov v čitateli a menovateli vykrátia.

Pravidlo 3

Mocnina mocniny

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

$(5^2)^3 = 5^{6} = 15\,625$

Aplikujeme definíciu $n$-krát, potom P1: $$(a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdots a^m}_{n} = a^{\underbrace{m+m+\cdots+m}_{n}} = a^{mn}$$

Pravidlo 4

Mocnina súčinu

$$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$

$(2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296$

Rozvinieme a skupinujeme využívajúc komutatívnosť: $$(ab)^n = \underbrace{(ab)\cdots(ab)}_{n} = \underbrace{a\cdots a}_{n}\cdot\underbrace{b\cdots b}_{n} = a^n b^n$$

Pravidlo 5

Mocnina podielu

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0)$$

$\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}$

Analogicky k P4: $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\frac{a}{b}\cdots\frac{a}{b}}_{n} = \frac{\overbrace{a\cdots a}^{n}}{\underbrace{b\cdots b}_{n}} = \frac{a^n}{b^n}$$

Pravidlo 6

Záporný exponent

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)$$

$4^{-3} = \dfrac{1}{64}$

Aby P2 platilo aj pre $m < n$, definujeme: $$a^{-n} = a^{0-n} = \frac{a^0}{a^n} = \frac{1}{a^n}$$ Overenie: $a^{-n} \cdot a^n = a^{-n+n} = a^0 = 1$ ✓

Pravidlo 7

Zlomkový exponent

$$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$$

$8^{2/3} = \sqrt[3]{64} = 4$

Nech $y = a^{m/n}$. Umocníme na $n$, použijeme P3: $$y^n = \left(a^{m/n}\right)^n = a^{\frac{m}{n}\cdot n} = a^m$$ Teda $y = \sqrt[n]{a^m}$ (definícia $n$-tej odmocniny). ∎

Príklady — krok za krokom

Stláčaj ▶ Ďalší krok alebo zobraz celé riešenie naraz.

História mocnín

1637 — René Descartes

Zavedenie modernej notácie $a^n$

Francúzsky matematik a filozof René Descartes zaviedol v diele La Géométrie zápis $a^n$, kde exponent je nadpísané číslo. Pred tým sa používali zdĺhavé slovné opisy alebo skratky ako aa, aaa…

$a^n$ — Descartes, La Géométrie 1637

1656 — John Wallis

Záporné a zlomkové exponenty

Anglický matematik John Wallis systematicky rozšíril pojem mocniny v diele Arithmetica Infinitorum. Zaviedol zmysluplnú interpretáciu záporných a zlomkových exponentov, ktorú používame dodnes.

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n},\quad a^{1/2} = \sqrt{a}$

1920 — Edward Kasner

Googol = $10^{100}$

Americký matematik Edward Kasner poprosil svojho 9-ročného synovca Miltona Sirottu, aby vymyslel meno pre číslo $10^{100}$. Milton navrhol googol. Technologická firma Google je pomenovaná podľa neho (s pravopisnou chybou).

$\text{googol} = 10^{100},\quad \text{googolplex} = 10^{10^{100}}$